Anupat Samanupat MCQ

अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) Short Notes & Tricks in Hindi

अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion): प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए कम्पलीट शॉर्ट नोट्स और ट्रिक्स

गणित (Mathematics) की समझ विकसित करने और प्रतियोगी परीक्षाओं (जैसे SSC, Railway, Banking, State Exams और Teaching Exams) में उच्च स्कोर करने के लिए अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) सबसे आधारभूत और महत्वपूर्ण टॉपिक है। दिलचस्प बात यह है कि यदि आप इस एक चैप्टर को अच्छे से समझ लेते हैं, तो प्रतिशत, लाभ-हानि, साझेदारी (Partnership) और आयु से संबंधित समस्याओं को हल करना बेहद आसान हो जाता है।

अक्सर छात्र इसके बुनियादी नियमों को न समझने के कारण कठिन गणनाओं में फंस जाते हैं। इस विशेष लेख में हम अनुपात और समानुपात के सभी नियमों, सूत्रों, प्रकारों और जादुई शॉर्ट ट्रिक्स को आसान हिंदी भाषा में कवर करेंगे ताकि आप परीक्षा में प्रश्नों को बिना पेन उठाए हल कर सकें।

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Results

#1. यदि 336 : 216 :: 980: x हो तो x का मान होगा? [ पटवार 2011 ]

720

630

967

872

इस प्रश्न का सही उत्तर (3) 630 है।

समानुपात का नियम (Rule of Proportion):

यदि चार संख्याएँ समानुपात में हों, जैसे कि a : b :: c : d, तो समानुपात के नियम के अनुसार:

बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल
a × d = b × c या a / b = c / d

हल करने की विधि:

दिया गया समीकरण है: 336 : 216 :: 980 : x

नियम के अनुसार मान रखने पर:

336 × x = 216 × 980

x = (216 × 980) / 336

सरल गणना (Easy Calculation Steps):

बड़ी संख्याओं को आसानी से काटने के लिए नीचे दिए गए स्टेप्स का पालन करें:

स्टेप 1: सबसे पहले 216 और 336 को 24 से काटते हैं (24 × 9 = 216 और 24 × 14 = 336):
समीकरण बचेगा: x = (9 × 980) / 14

स्टेप 2: अब नीचे बचे हुए 14 से 980 को काटते हैं (चूँकि 14 × 7 = 98 होता है, इसलिए 14 से 980 पूरा-पूरा 70 बार में कट जाएगा):
समीकरण बचेगा: x = 9 × 70

अब अंतिम गुणा करते हैं:

x = 630

अतः, x का वांछित मान 630 होगा।

#2. एक थैले में 1 रुपये 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 2:3:5 के अनुपात में है। यदि इन सिक्कों का कुल मूल्य 228 रुपये है तो उस थैले में 50 पैसे के सिक्कों की संख्या है- [VDO-27.12 2021 ]

240

144

इस प्रश्न का सही उत्तर 144 है।

हल करने की विधि:

माना कि सिक्कों की संख्या उनके अनुपात के अनुसार क्रमशः 2x, 3x और 5x है।

चूँकि कुल मूल्य रुपये में दिया गया है, इसलिए हम सभी सिक्कों के मूल्यों को भी रुपये में बदल लेते हैं (50 पैसे = 1/2 रुपये, 25 पैसे = 1/4 रुपये):

सिक्कों की मूल्य तालिका (Value Table):

सिक्के का प्रकार	संख्या का अनुपात	एक सिक्के का मूल्य (रुपये में)	कुल मूल्य (रुपये में)
1 रुपया	2x	1	2x × 1 = 2x
50 पैसे	3x	1/2	3x × (1/2) = 1.5x
25 पैसे	5x	1/4	5x × (1/4) = 1.25x

समीकरण के अनुसार गणना (Calculation Steps):

थैले में कुल धन 228 रुपये है, इसलिए सभी मूल्यों का योग 228 के बराबर होगा:

2x + 1.5x + 1.25x = 228
4.75x = 228

दशमलव हटाकर x का मान निकालने पर:

x = 228 / 4.75
x = (228 × 100) / 475

(25 से काटने पर: 100 → 4 बार और 475 → 19 बार कटेगा)
x = (228 × 4) / 19

(19 से 228 को भाग देने पर 12 प्राप्त होगा; 19 × 12 = 228)
x = 12 × 4
x = 48

50 पैसे के सिक्कों की संख्या:

तालिका के अनुसार 50 पैसे के सिक्कों की संख्या का अनुपात 3x था:

50 पैसे के सिक्के = 3x
50 पैसे के सिक्के = 3 × 48

50 पैसे के सिक्के = 144

अतः, थैले में 50 पैसे के सिक्कों की कुल संख्या 144 है।

#3. एक थैली में 2 रुपये 1 रुपये और 50 पैसे के सिक्के क्रमशः 6:7:15 के अनुपात में है। यदि थैली में कुल धन 1590 रुपये है तो थैली में 50 पैसे के सिक्कों की संख्या है- [VDO-28.12.2021 (Shift-II)]

900

600

700

800

इस प्रश्न का सही उत्तर (4) 900 है।

हल करने की विधि:

माना कि थैली में सिक्कों की संख्या उनके अनुपात के अनुसार क्रमशः 6x, 7x और 15x है।

चूँकि कुल मूल्य रुपये में दिया गया है, इसलिए हम 50 पैसे के सिक्कों के मूल्य को भी रुपये में बदल लेते हैं (50 पैसे = 1/2 रुपया या 0.5 रुपया):

सिक्कों की मूल्य तालिका (Value Table):

सिक्के का प्रकार	संख्या का अनुपात	एक सिक्के का मूल्य (रुपये में)	कुल मूल्य (रुपये में)
2 रुपये	6x	2	6x × 2 = 12x
1 रुपया	7x	1	7x × 1 = 7x
50 पैसे	15x	1/2 (0.5)	15x × 0.5 = 7.5x

समीकरण के अनुसार गणना (Calculation Steps):

थैली में कुल धन 1590 रुपये है, इसलिए सभी मूल्यों का योग 1590 के बराबर होगा:

12x + 7x + 7.5x = 1590
26.5x = 1590

दशमलव हटाकर x का मान निकालने पर:

x = 1590 / 26.5
x = (1590 × 10) / 265

(5 से काटने पर: 10 → 2 बार और 265 → 53 बार कटेगा)
x = (1590 × 2) / 53

(53 से 1590 को भाग देने पर 30 प्राप्त होगा; 53 × 3 = 159)
x = 30 × 2
x = 60

50 पैसे के सिक्कों की संख्या:

तालिका के अनुसार 50 पैसे के सिक्कों की संख्या का अनुपात 15x था:

50 पैसे के सिक्के = 15x
50 पैसे के सिक्के = 15 × 60

50 पैसे के सिक्के = 900

अतः, थैली में 50 पैसे के सिक्कों की कुल संख्या 900 है।

#4. 15:19 के अनुपात के दोनों पदों में से कौनसी संख्या घटानी चाहिए जिससे अनुपात 3 : 4 हो जाए? [पटवार 2011 ]

इस प्रश्न का सही उत्तर (3) 3 है।

विधि 1: बुनियादी समीकरण विधि (Basic Algebraic Method)

माना कि दोनों पदों में से घटाई जाने वाली वांछित संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार, अनुपात 15 : 19 के दोनों पदों में से x घटाने पर नया अनुपात 3 : 4 हो जाता है:

(15 – x) / (19 – x) = 3 / 4

अब इनका वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) करने पर:

4 × (15 – x) = 3 × (19 – x)
60 – 4x = 57 – 3x

चर (Variables) और अचर (Constants) पदों को एक तरफ (पक्षांतरण) करने पर:

60 – 57 = 4x – 3x
3 = x

विधि 2: स्मार्ट ट्रिक – विकल्प विधि (Go Through Options)

प्रतियोगी परीक्षाओं में समय बचाने के लिए इस प्रकार के प्रश्नों को विकल्पों की मदद से कुछ ही सेकंड में हल किया जा सकता है। हम सीधे विकल्प (3) की जाँच करते हैं:

यदि दोनों पदों में से 3 घटाया जाए:
प्रथम पद = 15 – 3 = 12
द्वितीय पद = 19 – 3 = 16

अब नया अनुपात निकालकर देखते हैं:

नया अनुपात = 12 : 16

(दोनों संख्याओं को 4 से काटने पर)
नया अनुपात = 3 : 4

चूँकि नया अनुपात प्रश्न में दिए गए अनुपात (3 : 4) से पूरी तरह मेल खाता है, इसलिए हमारा उत्तर बिल्कुल सही है।

अतः, दोनों पदों में से संख्या 3 घटानी चाहिए।

#5. यदि तीन संख्याएँ 3:2:5 के अनुपात में हो और उनके वर्गों का योग 1862 हो तो दूसरी संख्या क्या होगी? [कनिष्ठ लेखाकार -02.08.2015]

इस प्रश्न का सही उत्तर (2) 14 है।

विशेष ध्यान दें (Common Mistake): इस तरह के प्रश्नों में सीधे अनुपात का वर्ग करके जोड़ने की गलती न करें। हमेशा अनुपात के साथ चर गुणांक (जैसे x) मानें, क्योंकि वर्गों का योग करने पर वह x² बनता है, जिसका अंत में वर्गमूल (Square Root) निकालना आवश्यक होता है।

हल करने की विधि:

माना कि तीनों संख्याएँ उनके अनुपात के अनुसार क्रमशः निम्नलिखित हैं:

पहली संख्या = 3x
दूसरी संख्या = 2x
तीसरी संख्या = 5x

संख्याओं के वर्गों का समीकरण:

प्रश्न के अनुसार, इन तीनों संख्याओं के वर्गों का योग 1862 है:

(3x)² + (2x)² + (5x)² = 1862
9x² + 4x² + 25x² = 1862

पदों को जोड़ने पर:

38x² = 1862
x² = 1862 / 38

भाग देने की सरल प्रक्रिया:

1862 और 38 दोनों को पहले 2 से काटने पर: x² = 931 / 19
अब 19 से 931 को भाग देने पर 49 प्राप्त होता है (19 × 49 = 931)

x² = 49
दोनों तरफ वर्गमूल (Square Root) लेने पर:
x = √49
x = 7

दूसरी संख्या ज्ञात करना:

हमसे दूसरी संख्या पूछी गई है, जिसका मान हमने 2x माना था:

दूसरी संख्या = 2x
दूसरी संख्या = 2 × 7

दूसरी संख्या = 14

अतः, वांछित दूसरी संख्या 14 होगी।

#6. एक दुकानदार दो प्रकार की मैदा को 2:3 के अनुपात में मिलाता है तथा फिर इसे 22 रुपये प्रति किग्रा बेचने से उसको 10% लाभ होता है। यदि कम मात्रा वाली मैदा का भाव 14 रुपये प्रति किग्रा हो तो अधिक मात्रा वाली मैदा का भाव प्रति किग्रा क्या है? [कनिष्ठ लेखाकार -04.10.2016]

23 रुपये

24 रुपये

25 रुपये

21 रुपये

इस प्रश्न का सही उत्तर (2) 24 रुपये है Bourgeois।

महत्वपूर्ण बिंदु: प्रश्न में दिया गया 22 रुपये प्रति किग्रा मिश्रण का विक्रय मूल्य (Selling Price) है। मिश्रण के प्रश्नों को हल करने के लिए सबसे पहले हमें मिश्रण का वास्तविक क्रय मूल्य (Cost Price) निकालना होगा।

स्टेप 1: मिश्रण का क्रय मूल्य (Cost Price) ज्ञात करना

विक्रय मूल्य = 22 रुपये, लाभ = 10%

मिश्रण का क्रय मूल्य = [विक्रय मूल्य / (100 + लाभ%)] × 100

मिश्रण का क्रय मूल्य = (22 / 110) × 100
मिश्रण का क्रय मूल्य = (2 / 10) × 100 = 20 रुपये प्रति किग्रा

स्टेप 2: मात्रा और कुल मूल्य का समीकरण

अनुपात 2 : 3 के अनुसार मान लेते हैं कि:

कम मात्रा वाली मैदा = 2 किग्रा (भाव: 14 रुपये/किग्रा)
अधिक मात्रा वाली मैदा = 3 किग्रा (माना भाव: x रुपये/किग्रा)
कुल मिश्रण की मात्रा = 2 + 3 = 5 किग्रा

अब, कुल क्रय मूल्य का समीकरण बनाते हैं:

(2 किग्रा × 14) + (3 किग्रा × x) = कुल 5 किग्रा × मिश्रण का भाव (20)

28 + 3x = 5 × 20
28 + 3x = 100

स्टेप 3: समीकरण हल करना और ‘x’ का मान निकालना

पक्षांतरण करने पर:

3x = 100 – 28
3x = 72

x = 72 / 3
x = 24

अतः, अधिक मात्रा वाली मैदा का भाव 24 रुपये प्रति किग्रा है।

#7. दो मिश्रधातुओं को सोने और तांबे के क्रमश: 7: 2 और 7:11 के अनुपात में मिलाकर बनाया जाता है दोनों मिश्रधातुओं को समान मात्रा में मिलाकर तीसरी मिश्रधात् बनाई जाती हैं इस तीसरी मिश्रधातु में सोने और ताँबे के मध्य अनुपात है- [RAS Pre Exam 05.08.2011]]

7:5

7:12

14:13

2:11

इस प्रश्न का सही उत्तर (1) 7:5 है।

शॉर्टकट समझने का मूल मंत्र: प्रश्न में कहा गया है कि दोनों मिश्रधातुओं की समान मात्रा मिलाई जाती है। पहली मिश्रधातु के अनुपातों का योग (7 + 2 = 9) है और दूसरी का (7 + 11 = 18) है। गणना आसान करने के लिए हम दोनों की मात्रा को समान यानी इनका ल.स.प. (LCM) 18 यूनिट मान लेते हैं।

अनुपात को समान करने की तालिका (Balancing the Ratios):

दोनों मिश्रधातुओं की कुल मात्रा को 18 यूनिट बनाने के लिए, पहली मिश्रधातु के अनुपात को 2 से गुणा करेंगे:

मिश्रधातु	सोना (Gold)	ताँबा (Copper)	कुल मात्रा (अनुपात योग)
पहली मिश्रधातु (गुणा 2 करने पर)	7 × 2 = 14	2 × 2 = 4	9 × 2 = 18
दूसरी मिश्रधातु (यथावत)	7	11	7 + 11 = 18

तीसरी मिश्रधातु में सोने और ताँबे की गणना:

अब चूँकि दोनों मिश्रधातुओं की मात्रा (18-18 यूनिट) समान हो चुकी है, हम तीसरी मिश्रधातु बनाने के लिए दोनों में मौजूद सोने को सोने के साथ और ताँबे को ताँबे के साथ सीधे जोड़ सकते हैं:

कुल सोना (Total Gold) = 14 + 7 = 21 यूनिट
कुल ताँबा (Total Copper) = 4 + 11 = 15 यूनिट

अंतिम अनुपात ज्ञात करना:

तीसरी मिश्रधातु में अनुपात (सोना : ताँबा) = 21 : 15

(दोनों संख्याओं को 3 से काटने पर)

अनुपात = (21 / 3) : (15 / 3)

वांछित अनुपात = 7 : 5

अतः, तीसरी मिश्रधातु में सोने और ताँबे के मध्य का अनुपात 7 : 5 होगा।

#8. दूध और पानी के 30 लीटर मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 7:3 है। इस अनुपात को 3:7 बनाने के लिए मिश्र मिश्रण में मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा क्या होगी? [संगणक परीक्षा-19.12.2021]

40 ली.

कोई नहीं

42 ली.

45 ली.

इस प्रश्न का सही उत्तर (1) 40 ली. है।

स्टेप 1: प्रारंभिक मिश्रण में दूध और पानी की मात्रा ज्ञात करना

कुल मिश्रण = 30 लीटर, पुराना अनुपात (दूध : पानी) = 7 : 3

अनुपातों का कुल योग = 7 + 3 = 10

दूध की मात्रा: (7 / 10) × 30 = 21 लीटर
पानी की मात्रा: (3 / 10) × 30 = 9传递 लीटर

तार्किक बिंदु: चूँकि मिश्रण में केवल पानी मिलाया जा रहा है, इसका अर्थ है कि नए मिश्रण में भी दूध की मात्रा 21 लीटर ही रहेगी (उसमें कोई बदलाव नहीं होगा)। केवल पानी की मात्रा और उसका अनुपात बदलेगा।

स्टेप 2: समीकरण बनाकर हल करना

नया अनुपात (दूध : पानी) = 3 : 7 होना चाहिए।

माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा x लीटर है।

नया दूध / नया पानी = 3 / 7

21 / (9 + x) = 3 / 7

वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) करने पर:

3 × (9 + x) = 21 × 7
27 + 3x = 147

पक्षांतरण करने पर:

3x = 147 – 27
3x = 120

x = 120 / 3
x = 40 लीटर

अतः, मिश्रण में मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा 40 लीटर होगी।

#9. एक 60 लीटर के मिश्रण में दूध तथा पानी का अनुपात 5:3 है। यदि इसका अनुपात 1:2 करना हो तो मिश्रण में मिलाये जाने वाले पानी की मात्रा होगी- [RAS Pre 2016]

17.5 लीटर

52.5 लीटर

58.5 लीटर

22.5 सीटर

इस प्रश्न का सही उत्तर (1) 52.5 लीटर है।

स्टेप 1: प्रारंभिक मिश्रण में दूध और पानी की मात्रा ज्ञात करना

कुल मिश्रण = 60 लीटर, पुराना अनुपात (दूध : पानी) = 5 : 3

अनुपातों का कुल योग = 5 + 3 = 8

दूध की मात्रा: (5 / 8) × 60 = 300 / 8 = 37.5 लीटर
पानी की मात्रा: (3 / 8) × 60 = 180 / 8 = 22.5 लीटर

तार्किक बिंदु: चूँकि मिश्रण में केवल पानी मिलाया जा रहा है, इसका अर्थ है कि नए मिश्रण में भी दूध की मात्रा 37.5 लीटर ही रहेगी (उसमें कोई बदलाव नहीं होगा)। केवल पानी की मात्रा और उसका अनुपात बदलेगा।

स्टेप 2: समीकरण बनाकर हल करना

नया अनुपात (दूध : पानी) = 1 : 2 होना चाहिए।

माना कि मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा x लीटर है।

नया दूध / नया पानी = 1 / 2

37.5 / (22.5 + x) = 1 / 2

वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) करने पर:

1 × (22.5 + x) = 37.5 × 2
22.5 + x = 75

पक्षांतरण करने पर:

x = 75 – 22.5

x = 52.5 लीटर

अतः, मिश्रण में मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा 52.5 लीटर होगी।

#10. एक थैले में 25 पैसे 50 पैसे तथा । रु. के सिक्के हैं। थैले में कुल सिक्कों की संख्या 220 है जिनका कुल मूल्य 160 रु. है। यदि रु. के सिक्कों की संख्या 25 पैसे के सिक्कों की संख्या से तिगुनी हो तो 50 पैसे के सिक्कों की संख्या कितनी है? [RAS Pre Exam-19.11.2013]

120

इस प्रश्न का सही उत्तर (3) 60 है।

महत्वपूर्ण बिंदु: समीकरण बनाते समय सभी मूल्यों को एक ही इकाई (रुपये या पैसे) में बदलना आवश्यक है। गणना को आसान रखने के लिए हम यहाँ सभी सिक्कों के मूल्यों को रुपये (Rs.) में रखेंगे:
• 25 पैसे = 1/4 रुपया | • 50 पैसे = 1/2 रुपया | • 1 रुपया = 1 रुपया

स्टेप 1: सिक्कों की संख्या को मानना (Assumption)

प्रश्न के अनुसार, 1 रुपये के सिक्कों की संख्या 25 पैसे के सिक्कों की संख्या से तिगुनी है।

माना 25 पैसे के सिक्कों की संख्या = x
तो 1 रुपये के सिक्कों की संख्या = 3x

चूँकि थैले में कुल सिक्कों की संख्या 220 है, इसलिए:

50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 220 – (x + 3x) = 220 – 4x

स्टेप 2: कुल मूल्य का समीकरण बनाना

सभी सिक्कों की संख्या को उनके मूल्य से गुणा करके कुल मूल्य (160 रुपये) के बराबर रखते हैं:

(25 पैसे × x) + (50 पैसे × (220 – 4x)) + (1 रुपया × 3x) = 160

(1/4)x + (1/2)(220 – 4x) + 1(3x) = 160
(x/4) + 110 – 2x + 3x = 160
(x/4) + 110 + x = 160

स्टेप 3: समीकरण को हल करके x का मान निकालना

संख्या 110 का पक्षांतरण करने पर:

(x/4) + x = 160 – 110
5x / 4 = 50

5x = 50 × 4
5x = 200
x = 200 / 5
x = 40

स्टेप 4: 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात करना

अब x का मान 50 पैसे के सिक्कों के समीकरण में रखने पर:

50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 220 – 4x
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 220 – 4(40)
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 220 – 160 = 60

अतः, थैले में 50 पैसे के सिक्कों की संख्या 60 है।

#11. राजीव की 5 वर्ष पूर्व आयु तथा 9 वर्ष वाद की आयु का गुणनफल 15 है। राजीव की बर्तमान आयु है [REET (I-th.6 Feb. 2016)]

इस प्रश्न का सही उत्तर (1) 6 वर्ष है।

विधि 1: स्मार्ट ट्रिक – विकल्प विधि (Go Through Options)

आयु से संबंधित ऐसे प्रश्नों को परीक्षाओं में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) की लंबी गणना से बचाने के लिए सीधे विकल्पों से हल करना सबसे बेहतर होता है।

आइए सीधे विकल्प (1) यानी 6 वर्ष की जाँच करते हैं:

यदि राजीव की वर्तमान आयु = 6 वर्ष है।
5 वर्ष पूर्व राजीव की आयु: 6 – 5 = 1 वर्ष
9 वर्ष बाद राजीव की आयु: 6 + 9 = 15 वर्ष

अब दोनों आयु का गुणनफल निकालते हैं:

गुणनफल = 5 वर्ष पूर्व की आयु × 9 वर्ष बाद की आयु
गुणनफल = 1 × 15 = 15

चूँकि गुणनफल प्रश्न में दी गई शर्त (गुणनफल = 15) से पूरी तरह मेल खाता है, इसलिए राजीव की वर्तमान आयु 6 वर्ष ही है।

विधि 2: बुनियादी गणितीय विधि (Algebraic Method)

माना कि राजीव की वर्तमान आयु = x वर्ष है।

5 वर्ष पूर्व राजीव की आयु = (x – 5) वर्ष
9 वर्ष बाद राजीव की आयु = (x + 9) वर्ष

प्रश्न के अनुसार, दोनों का गुणनफल 15 है:

(x – 5)(x + 9) = 15
x² + 9x – 5x – 45 = 15
x² + 4x – 45 – 15 = 0
x² + 4x – 60 = 0

गुणनखंड (Factorization) करने पर:

x² + 10x – 6x – 60 = 0
x(x + 10) – 6(x + 10) = 0
(x – 6)(x + 10) = 0

यहाँ से हमें दो मान प्राप्त होते हैं:

x – 6 = 0 ⇒ x = 6
x + 10 = 0 ⇒ x = -10

ध्यान दें: किसी भी व्यक्ति की आयु कभी भी ऋणात्मक (-) नहीं हो सकती, इसलिए x = -10 को अमान्य माना जाएगा।

अतः, राजीव की वर्तमान आयु 6 वर्ष है।

#12. एक कक्षा में 54 विद्यार्थी हैं। यदि छात्राओं की संख्या छात्रों की संख्या की 4/5 गुनी हो तो छात्रों की संख्या है [RTET (2012)]

इस प्रश्न का सही उत्तर (2) 30 है।

भाषा को समझें: प्रश्न में कहा गया है कि छात्राओं (Girls) की संख्या, छात्रों (Boys) की संख्या की 4/5 गुनी है। इसका सीधा अर्थ है कि यदि छात्रों की संख्या 5 यूनिट है, तो छात्राओं की संख्या 4 यूनिट होगी।

विधि 1: सरल अनुपात विधि (Ratio Method – Fast & Easy)

प्रश्न के अनुसार हम छात्र और छात्राओं का अनुपात लिख सकते हैं:

छात्राएँ / छात्र = 4 / 5
छात्र (Boys) : छात्राएँ (Girls) = 5 : 4

अनुपातों का कुल योग = 5 + 4 = 9 यूनिट

चूँकि कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या 54 है, इसलिए:

चूँकि, 9 यूनिट = 54
तो, 1 यूनिट = 54 / 9 = 6 विद्यार्थी

अब हमें छात्रों (Boys) की संख्या ज्ञात करनी है, जिनका अनुपात 5 यूनिट है:

छात्रों की संख्या = 5 यूनिट × 1 यूनिट का मान (6)
छात्रों की संख्या = 30

विधि 2: बुनियादी समीकरण विधि (Basic Algebraic Method)

माना कि छात्रों (Boys) की संख्या = x है।

तो छात्राओं (Girls) की संख्या = (4/5)x होगी।

कक्षा में कुल विद्यार्थी 54 हैं, इसलिए दोनों का योग 54 के बराबर रखने पर:

x + (4/5)x = 54
(5x + 4x) / 5 = 54
9x / 5 = 54

वज्र-गुणन (Cross-Multiplication) करके हल करने पर:

9x = 54 × 5
x = (54 × 5) / 9

(9 से 54 पूरा-पूरा 6 बार में कट जाएगा)

x = 6 × 5
x = 30

अतः, कक्षा में छात्रों (लड़कों) की कुल संख्या 30 है।

Finish

1. अनुपात (Ratio) क्या है?

दो समान प्रकार की राशियों (Quantities) के बीच तुलनात्मक संबंध को अनुपात (Ratio) कहते हैं। यह हमें बताता है कि एक राशि, दूसरी राशि की तुलना में कितनी गुनी है या उसका कौन सा भाग है।

अनुपात को दर्शाने के लिए कोलन का चिन्ह (:) उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि A के पास 20 रुपये और B के पास 30 रुपये हैं, तो उनके धन का अनुपात 20:30 या सरल करने पर 2:3 होगा।

अनुपात रूप = a : b (या भिन्न रूप = a / b)

यहाँ a को प्रथम पद (Antecedent) और b को द्वितीय पद (Consequent) कहा जाता है। ध्यान रहे, अनुपात की कोई इकाई (Unit) नहीं होती है क्योंकि यह समान इकाइयों का विभाजन होता है।

2. अनुपात के विभिन्न प्रकार (Types of Ratio)

परीक्षाओं में सीधे तौर पर अनुपात के प्रकारों से ऑब्जेक्टिव प्रश्न पूछ लिए जाते हैं। मुख्य प्रकार निम्नलिखित हैं:

वर्गानुपात (Duplicate Ratio): दिए गए अनुपात के पदों का वर्ग करना। जैसे: a : b का वर्गानुपात a² : b² होगा।
वर्गमूलानुपात (Sub-Duplicate Ratio): पदों का वर्गमूल निकालना। जैसे: a : b का वर्गमूलानुपात √a : √b होगा।
घनानुपात (Triplicate Ratio): पदों का घन (Cube) करना। जैसे: a : b का घनानुपात a³ : b³ होगा।
मिश्रित अनुपात (Compound Ratio): दो या दो से अधिक अनुपातों के प्रथम पदों का गुणनफल और द्वितीय पदों के गुणनफल का अनुपात। जैसे: (a:b) और (c:d) का मिश्रित अनुपात ac : bd होगा।

3. समानुपात (Proportion) किसे कहते हैं?

जब दो अनुपात आपस में बराबर हो जाते हैं, तो गणित में उस गणितीय संबंध को समानुपात (Proportion) कहा जाता है। इसे दर्शाने के लिए डबल कोलन (::) या बराबर (=) के चिन्ह का उपयोग किया जाता है।

a : b :: c : d (अर्थात a / b = c / d)

इसमें a, b, c, d को समानुपाती पद कहते हैं। समानुपात का सबसे महत्वपूर्ण नियम यह है कि बाहरी पदों का गुणनफल हमेशा मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है:

a \times d = b \times c

4. समानुपात के महत्वपूर्ण सूत्र (Key Formulas)

यदि परीक्षा में तीन संख्याएँ देकर प्रथमानुपाती, द्वितीयानुपाती या तृतीयानुपाती पूछा जाए, तो आप इन रेडीमेड सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

समानुपाती का नाम	दी गई संख्याएँ	ज्ञात करने का सूत्र (Formula)
मध्यानुपाती (Mean Proportional)	a और b	√ (a × b)
तृतीयानुपाती (Third Proportional)	a और b	b² / a
चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional)	a, b और c	(b × c) / a

5. बार-बार पूछी जाने वाली जादुई शॉर्ट ट्रिक्स (Exam Special)

⚡ ट्रिक 1: अनुपातों को जोड़ना (Combining Ratios)
यदि परीक्षा में A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 दिया हो और A : B : C निकालना हो:
विधि: खाली जगहों को उनके पड़ोसी अंक से भरें।
A : B : [B] → 2 : 3 : 3
[B] : B : C → 4 : 4 : 5
अब सीधा गुणा करें: A = 2×4 = 8, B = 3×4 = 12, C = 3×5 = 15.
उत्तर: A : B : C = 8 : 12 : 15

⚡ ट्रिक 2: सिक्कों पर आधारित प्रश्न (Coin-Based Problems)
यदि थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5:6:8 के अनुपात में हैं।
सफलता का मूलमंत्र: हमेशा सिक्कों के अनुपात को उनके मूल्य (Value) के अनुपात में बदलें या मूल्य को सिक्कों में बदलें। ध्यान रहे कि 50 पैसे = ₹1/2 और 25 पैसे = ₹1/4 होते हैं।

📌 Quick Revision Notes (महत्वपूर्ण बिंदु)

अनुपात: न्यूनतम / सरलतम रूप में दो समान राशियों का विभाजन है।
समानुपात: दो अलग-अलग अनुपातों की समानता की स्थिति है।
नियम: अनुपात के दोनों पदों में किसी भी समान संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात का मान नहीं बदलता।
याद रखें: मध्यानुपाती = √ab, तृतीयानुपाती = b²/a।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

Q1. अनुपात और समानुपात में मुख्य अंतर क्या है?

अनुपात (Ratio) दो राशियों की तुलना करता है (जैसे a:b), जबकि समानुपात (Proportion) दो अनुपातों की आपस में तुलना करता है और उन्हें बराबर दिखाता है (जैसे a:b = c:d)।

Q2. क्या अनुपात की कोई इकाई (जैसे सेमी, किग्रा) होती है?

नहीं, अनुपात की कोई इकाई नहीं होती क्योंकि यह हमेशा समान इकाइयों वाली दो राशियों के बीच निकाला जाता है, जिससे इकाइयाँ आपस में कट जाती हैं।

Q3. मध्यानुपाती (Mean Proportional) कैसे निकाला जाता है?

दो दी गई संख्याओं का मध्यानुपाती निकालने के लिए दोनों संख्याओं को आपस में गुणा करके उनका वर्गमूल (Square Root) निकाल लिया जाता है, जिसका सूत्र √ab है।

यदि आपको ये गणित के शार्ट नोट्स उपयोगी लगे हों, तो इन्हें अपने सहपाठियों और स्टडी ग्रुप्स में जरूर शेयर करें!

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Anupat Samanupat MCQ

अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion): प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए कम्पलीट शॉर्ट नोट्स और ट्रिक्स

Results

#1. यदि 336 : 216 :: 980: x हो तो x का मान होगा? [ पटवार 2011 ]

समानुपात का नियम (Rule of Proportion):

हल करने की विधि:

सरल गणना (Easy Calculation Steps):

हल करने की विधि:

सिक्कों की मूल्य तालिका (Value Table):

समीकरण के अनुसार गणना (Calculation Steps):

50 पैसे के सिक्कों की संख्या:

हल करने की विधि:

सिक्कों की मूल्य तालिका (Value Table):

समीकरण के अनुसार गणना (Calculation Steps):

50 पैसे के सिक्कों की संख्या:

#4. 15:19 के अनुपात के दोनों पदों में से कौनसी संख्या घटानी चाहिए जिससे अनुपात 3 : 4 हो जाए? [पटवार 2011 ]

विधि 1: बुनियादी समीकरण विधि (Basic Algebraic Method)

विधि 2: स्मार्ट ट्रिक – विकल्प विधि (Go Through Options)

#5. यदि तीन संख्याएँ 3:2:5 के अनुपात में हो और उनके वर्गों का योग 1862 हो तो दूसरी संख्या क्या होगी? [कनिष्ठ लेखाकार -02.08.2015]

हल करने की विधि:

दूसरी संख्या ज्ञात करना:

स्टेप 1: मिश्रण का क्रय मूल्य (Cost Price) ज्ञात करना

स्टेप 2: मात्रा और कुल मूल्य का समीकरण

स्टेप 3: समीकरण हल करना और ‘x’ का मान निकालना

अनुपात को समान करने की तालिका (Balancing the Ratios):

तीसरी मिश्रधातु में सोने और ताँबे की गणना:

अंतिम अनुपात ज्ञात करना:

स्टेप 1: प्रारंभिक मिश्रण में दूध और पानी की मात्रा ज्ञात करना

स्टेप 2: समीकरण बनाकर हल करना

स्टेप 1: प्रारंभिक मिश्रण में दूध और पानी की मात्रा ज्ञात करना

स्टेप 2: समीकरण बनाकर हल करना

स्टेप 1: सिक्कों की संख्या को मानना (Assumption)

स्टेप 2: कुल मूल्य का समीकरण बनाना

स्टेप 3: समीकरण को हल करके x का मान निकालना

स्टेप 4: 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात करना

#11. राजीव की 5 वर्ष पूर्व आयु तथा 9 वर्ष वाद की आयु का गुणनफल 15 है। राजीव की बर्तमान आयु है [REET (I-th.6 Feb. 2016)]

विधि 1: स्मार्ट ट्रिक – विकल्प विधि (Go Through Options)

विधि 2: बुनियादी गणितीय विधि (Algebraic Method)

विधि 1: सरल अनुपात विधि (Ratio Method – Fast & Easy)

विधि 2: बुनियादी समीकरण विधि (Basic Algebraic Method)

1. अनुपात (Ratio) क्या है?

2. अनुपात के विभिन्न प्रकार (Types of Ratio)

3. समानुपात (Proportion) किसे कहते हैं?

4. समानुपात के महत्वपूर्ण सूत्र (Key Formulas)

5. बार-बार पूछी जाने वाली जादुई शॉर्ट ट्रिक्स (Exam Special)

📌 Quick Revision Notes (महत्वपूर्ण बिंदु)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

Q1. अनुपात और समानुपात में मुख्य अंतर क्या है?

Q2. क्या अनुपात की कोई इकाई (जैसे सेमी, किग्रा) होती है?

Q3. मध्यानुपाती (Mean Proportional) कैसे निकाला जाता है?

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